Opis


Wprowadzenie

Przed naszą grupą postawiony został pewien problem fizyczny. Gdy na przyrządzie zwanym Wahadłem Oberbecka zawiesić ciężarek, możemy zauważyć, iż wkręcone w tuleję pręty zaczynają się poruszać z pewnym przyspieszeniem kątowym. Ruch ten jest spowodowany działającą pionowo w dół siłą ciężkości ciężarka. Czy jednak wspomniane przyspieszenie jest zależne od tej siły, a ściślej mówiąc, od momentu tej siły?

Rozważając ten przypadek w oparciu o wzory: na moment siły, moment bezwładności oraz przyspieszenie kątowe, moglibyśmy stwierdzić, iż ponieważ moment bezwładności pozostaje stały, przyspieszenie będzie rosło proporcjonalnie do działającej na układ siły ciężkości ciężarka. Tak więc hipoteza, którą stawiamy przed dokonaniem pomiarów jest następująca:

„Przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym zależy od momentu siły.”

Sposób pomiarów

Zanim przejdziemy do czynności wykonywania pomiarów, należy zastanowić się nad sposobem, aby osiągnąć możliwie rzetelną odpowiedź dla naszego pytania.

Pierwszy narzucający się sposób to wyliczenie momentu siły oraz bezwładności, a następnie dokonaniu kilku prostych działań. Doświadczenie byłoby szybkie do wykonania i niemal od razu można byłoby potwierdzić jego hipotezę. Niestety byłoby również nierzetelne. Taki sposób obliczenia nie uwzględniałby oporów, a także siły grawitacji działającej na pozostałe części układu.

Zamiast tego znacznie lepiej wykonać doświadczenie mierząc czas pokonania określonej drogi przez ciężarek. Jeśli nasza droga będzie za każdym razem taka sama, zdobędziemy możliwie bardzo dokładną tabelę wyników. W ten sposób otrzymamy możliwość obliczenia przyspieszenie ciężarka, a z tego w oparciu o zmierzony promień – przyspieszenia kątowego wahadła.

Doświadczenie

Skoro mamy już metodę przeprowadzenia pomiarów, czas zabrać się za realizację doświadczenia. Bierzemy pod uwagę trzy przypadki, każdy z nich nagrany dla większej dokładności przez więcej niż jedną kamerę. W każdym z przypadków użyjemy kolejno: 4, 6 i wreszcie 7 ciężarków.

Ciężarki zawieszamy na odpowiedniej, pół-metrowej wysokości i rozpoczynamy nagrywanie. Gdy wszystkie kamery są gotowe, puszczamy ciężarki, aby te wprawiły wahadło w ruch. Gdy ciężarki pokonają już określoną odległość, analizujemy nagrane materiały i wprowadzamy dane do tabeli. Następnie czynność powtarzamy dla dwóch pozostałych przypadków.

Wstępna analiza oraz niepewność pomiaru

Po przeanalizowaniu materiałów filmowych otrzymaliśmy poniższą tabelę:

Masa [g] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tśredni [s] Moment siły [Nm] Przyspieszenie kątowe [rad/s2]
200 16.87 17.36 17.06 17.09 ? ?
299.6 12.42 13.50 12.01 12.64 ? ?
349.7 11.72 10.73 11.40 11.28 ? ?

Już teraz rzuca się w oczy, iż wraz ze zwiększeniem ilości ciężarków, czas potrzebny do pokonania danej drogi zmniejszył się. Zanim jednak przejdziemy do dogłębnej analizy wyników, należy wyliczyć niepewność względną dla wszystkich wykonanych pomiarów.

Poniżej stosować będziemy następującą symbolikę:

ε - przyspieszenie kątowe
M - moment siły
F - siła
m - masa
g - przyspieszenie ziemskie (9.81 m/s2)
a - przyspieszenie liniowe
s - droga (0.5m)
R - promień ramienia wahadła (0.175m)
r - promień tulejki (0.015m)
t - czas
Xy - wartość X dla pomiaru numer y
Δ - niepewność bezwzględna

Aby obliczyć niepewność dla przyspieszenia kątowego, musimy zsumować niepewności dla wszystkich jego wartości składowych. Nasz wzór podstawowy to:

ε = a/r

Jednakże przyspieszenie liniowe wynika ze wzoru a = 2s/t2. Z tego wynika więc ostateczny wzór:

ε = 2s/(t2 * r)

Zatem naszą niepewność obliczymy, sumując niepewności dla drogi, promienia oraz czasu.

Niepewności bezwzględne:
Δs = 0.001m
Δr = 0.001m

Δt1 = (17.36s - 16.87s)/2 = 0.245s
Δt2 = (13.5s - 12.01s)/2 = 0.745s
Δt3 = (11.72s - 10.73s)/2 = 0.495s

Niepewności względne:
s = (Δs * 100%)/s = 0.1%/0.5 = 0.2%
r = (Δr * 100%)/r = 0.1%/0.015 = 6.6666667%

t1 = (Δt1 * 100%)/t1 = 24.5%/17.09 = 1.43358689%
t2 = (Δt2 * 100%)/t2 = 74.5%/12.64 = 5.89398734%
t3 = (Δt3 * 100%)/t3 = 49.5%/11.28 = 4.38829787%

ε1 = 0.2% + 6.66666667% + 1.43358689% = 8.30025356%
ε2 = 0.2% + 6.66666667% + 5.89398734% = 12.76065404%
ε3 = 0.2% + 6.66666667% + 4.38829787% = 11.25496457%

Teraz zajmiemy się niepewnością dla momentu siły. Moment siły obliczamy ze wzorów:

M = F * r
F = m * g

M = m * g * r

Dlatego w tym przypadku zsumujemy niepewności dla masy oraz promienia (r).

Niepewności bezwzględne:
Δr = 0.001m
Δm = 0.0001kg

Niepewności względne:
r = (Δr * 100%)/r = 0.1%/0.015 = 6.6666667%

m1 = (Δm * 100%)/m1 = 0.01%/0.2 = 0.05%
m2 = (Δm * 100%)/m2 = 0.01%/0.2996 = 0.033377837%
m3 = (Δm * 100%)/m3 = 0.01%/0.3497 = 0.02859594%

M1 = 6.6666667% + 0.05% = 6.7166667%
M2 = 6.6666667% + 0.033377837% = 6.700044537%
M2 = 6.6666667% + 0.02859594% = 6.69526264%

Znając już więc względną niepewność naszego pomiaru, możemy przejść do właściwych obliczeń. Moment siły wyliczamy na podstawie wcześniej wykonanego pomiaru wagi dla każdego przypadku z osobna:

M1 = m1 * g * r = 0.2kg * 9.81m/s2 * 0.015m = 0.02943Nm
M2 = m2 * g * r = 0.2996kg * 9.81m/s2 * 0.015m = 0.04408614Nm
M3 = m3 * g * r = 0.3497kg * 9.81m/s2 * 0.015m = 0.051458355Nm

W ten sposób otrzymujemy pierwszy wiersz właściwej tabeli: wiersz z wartościami momentu siły. Pozostaje nam jedynie obliczyć przyspieszenie kątowe dla każdego z przypadków. Robimy to w oparciu o już wcześniej wspomniany wzór:

ε1 = 2s/(t12 * r) = 1m/(292.0681s2 * 0.015m) = 0.222825726831059rad/s2
ε2 = 2s/(t22 * r) = 1m/(159.7696s2 * 0.015m) = 0.417267531912621rad/s2
ε3 = 2s/(t32 * r) = 1m/(127.2384s2 * 0.015m) = 0.523950840836309rad/s2

Tym samym możemy już uzupełnić naszą wcześniejszą tabelę.

Masa [g] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tśredni [s] Moment siły [Nm] Przyspieszenie kątowe [rad/s2]
200 16.87 17.36 17.06 17.09 0.02943 0.222825726831059
299.6 12.42 13.50 12.01 12.64 0.04408614 0.417267531912621
349.7 11.72 10.73 11.40 11.28 0.051458355 0.523950840836309

Wykres i dogłębna analiza wyników

Ponieważ wszystkie potrzebne nam dane zamieszczone zostały już w tabeli, pozostaje nam jedynie sporządzić odpowiedni wykres.

Masa [g] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tśredni [s] Moment siły [Nm] Przyspieszenie kątowe [rad/s2]
200 16.87 17.36 17.06 17.09 0.02943 0.222825726831059
299.6 12.42 13.50 12.01 12.64 0.04408614 0.417267531912621
349.7 11.72 10.73 11.40 11.28 0.051458355 0.523950840836309

W tym momencie możemy zauważyć ciekawą zależność. Wykres istotnie rośnie liniowo, jednak poniżej pewnej wartości momentu siły, wartość przyspieszenia kątowego pozostaje równa 0. Dlaczego tak się dzieje? Powodują to wspomniane na początku opory oraz pozostałe czynniki otoczenia. Przy pewnej liczbie ciężarków, nasze wahadło nie zostanie w ogóle wprawione w ruch.

Czy fakt ten burzy całkowicie postanowioną przez nas na początku hipotezę? Naturalnie nie. Hipoteza ta tyczy się bowiem wypadkowego momentu siły, a ten w przypadku gdy wahadło nie rusza się, jest równy 0. Gdybyśmy w aktualnym wykresie zależności moment siły zastąpili wypadkowym, otrzymalibyśmy idącą od zera funkcję liniową.

Tym samym więc postawiona przez nas na początku hipoteza zostaje w pełni potwierdzona oraz pozwala nam sformułować następujący wniosek:

„Przyspieszenie kątowe zależy od momentu siły.”

Zastosowanie zdobytej wiedzy w życiu

Na koniec warto podać przykład zastosowania zdobytej przez nas w doświadczeniu wiedzy, aby nie była ona jedynie podręcznikowym bełkotem. Tego nie trzeba szukać daleko. Wiedza o przyspieszeniu kątowym w zależności od momentu siły może nam się przydać przy planowaniu konstrukcji windy. Po dokonaniu odpowiednich pomiarów bilibyśmy w stanie obliczyć optymalny ciężar dla osiągnięcia optymalnej prędkości windy.

Projekt Fizyczny - Cyfrowy Świat Fizyki 2017 © wszelkie prawa zastrzeżone
Jan Przychodniak ☆ Krzysztof Jabłoński
Maciej Adamowicz ☆ Dawid Stępniewski ☆ Kuba Fiałkowski